امروز: پنجشنبه 6 اردیبهشت 1397
دسته بندی محصولات
بخش همکاران
لینک دوستان
بلوک کد اختصاصی

بررسی توزیع پوآسون و نرمال

بررسی توزیع پوآسون و نرمالدسته: آمار
بازدید: 37 بار
فرمت فایل: doc
حجم فایل: 133 کیلوبایت
تعداد صفحات فایل: 48

متغیرهای تصادفی دو جمله ای و فراهندسی ،‌موفقیت ها را در یك نمونه گیری تعیین می كند ممكن است در پدیده هایی با روندی از موفقیت ها رو به رو شویم و آگاهی از تعداد موفقیت ها مورد نظر باشد به مثالهای زیر توجه كنید

قیمت فایل فقط 12,000 تومان

خرید

توزیع پوآسون و نرمال

توزیع پواسن

متغیرهای تصادفی دو جمله ای و فراهندسی ،‌موفقیت ها را در یك نمونه گیری تعیین می كند. ممكن است در پدیده هایی با روندی از موفقیت ها رو به رو شویم و آگاهی از تعداد موفقیت ها مورد نظر باشد. به مثالهای زیر توجه كنید.

در یك بازی بستكبال گلهایی را كه تیم مورد علاقه به ثمر می رساند، روندی از موفقیت ها به دست می دهد.

تعداد دفعه هایی كه قلاب ماهیگیری مورد حمله های ماهیان قرار می گیرد،‌روندی از موفقیت ها است.

تعداد تصادف ها در جاده ای مورد نظر، روندی از موفقیتها است.

ترسم خطوط اضافی در پارچه بوسیله یك ماشین پارچه بافی، روندی از موفقیت ها را به دست می دهد.

تعداد حبابهای موجود در شیشه های تولیدی یك كارخانه ساخت شیشه، روندی از موفقیت ها است.

مطالعه آماری تعداد موفقیت ها در بخشی از روند مورد نظر، اهمیت دارد. تعداد گلهایی كه تیم مورد علاقه ما در نیمه اول به ثمر می رساند،‌تعداد دفعه هایی كه به قلاب ماهیگیری در یك ساعت حمله می شود، تعداد تصادف های در طول تابستان،‌تعداد خطوط اضافی كه در یك متر مربع ترسیم شده است و سرانجام، تعداد حبابهای موجود در 5 متر مربع شیشه تعداد موفقیت ها در بخشی از روند مربوطه است. نمونه گیری در اینجا به معنی گزینش آن بخش مورد نظر و شمارش تعداد موفقیت ها است. در مثال تعداد حبابها، هر قطعه شیشه 5 متر مربعی از تولید كارخانه یك نمونه به شمار می آید. در صورتی كه X را تعداد موفقیت ها تعریف كنیم، مجموعه مقادیر X

X={و2و1و 0    …}

پیشامد (X=i) بیانگر قطعاتی است كه در هر یك از آنها تعداد i  حباب است،‌ P(X=i) درصد این قطعات را تعیین می كند. تعیین P(X=i) با روش نمونه گیری در عمل ناممكن است. از این رو چگونه می توان P(X=i) را تعیین كرد؟ (در قسمت 5 به این پرسش پاسخ خواهیم داد) به هر حال تابع چگالی زیر P(X=I) را ارائه می دهد.

متغیر تصادفی پوآسن

یك متغیر تصادفی X با مجموعه مقادیر} …و2و1و0 X={ و تابع چگالی

(1-3)                  

را متغیر تصادفی پواسن با پارامتر  می نامند و در این صورت نمایش  بكار برده می شود. در فرمول (1-3)  ، e عدد نپر است   و  میانگین تعداد موفقیت ها است،‌ . اگر توزیع پواسن بر روندی از موفقیت ها دلالت كند، آنگاه تعداد موفقیت ها در هر بخش از روند از توزیع پواسن پیروی می كند كه پارامتر آن،، مساوی میانگین تعداد موفقیت ها در آن بخش است.

توزیع نرمال

متغیر تصادفی نرمال

یك متغیر تصادفی X ،‌متغیر تصادفی نرمال است، اگر مجموعه مقادیر آن  و تابع چگالی آن

مقادیر  و  ثابت است و به ترتیب امید ریاضی و واریانس X است،    و  در این صورت نمایش  را برای X بكار می بریم.

هر متغیر تصادفی نرمال X با میانگین  و واریانس  خواص زیر را دارد.

1-

2- اگر  به سرعت یك تابع نمایی.

خاصیت اول بیان می كند كه پراكندگی در فاصله های  یكسان است.

خاصیت دوم بیان می كند با دوری از میانگین درصد مشاهده ها نسبتاً سریع كاهش می یابد.

متغیر تصادفی نرمال، نخستین بار به وسیله كارل كاوس بیان شد. این متغیر تصادفی مدل احتمال خوبی برای بسیاری از پدیده های طبیعی است، به این دلیل، آن را نرمال (طبیعی) نامیده اند. به مثالهای زیر توجه كنید.

عموماً نمره های دانش آموزان یك كلاس، نزدیك به میانگین تجمع بیشتر دارد و هر چه از دو سو از میانگین فاصله گرفته شود، تجمع نمره ها كاهش می یابد (نسبتاً سریع).

میزان قد افراد جامعه‌ی مورد نظر نیز پدیده ای طبیعی است. تجمع، نزدیك به میانگین به گونه ای نسبتاً متقارن، زیاد است. با دوری از میانگین از دو سوی، پراكندگی بسرعت (تقریباً به طور متقارن) كاهش می یابد.

درجه حرارت هوا را در نیمه شب بهمن ماه در منطقه‌ ای در نظر بگیرید. دوباره انتظار می رود كه تجمع نزدیك به میانگین زیاد باشد و با دور شدن از میانگین مقدار آن سریع كاهش یابد.

دقت كنید كه هر متغیر تصادفی نرمال با آگاهی از دو مقدار  كاملاً مشخص می شود. مقدار  را انحراف معیار (انحراف استاندارد) گویند.

- متغیر نرمال استاندارد

چنانچه دیده شد هر توزیع نرمال به وسیله دو مقدار مشخص می شود. یعنی اگر جمعیتی آماری از توزیع نرمال پیروی كند با محاسبه  تمام یافته های آماری را می توان برای آن جمعیت به دست آورد. اكنون اگر در یك توزیع نرمال،  باشد، توزیع نرمال استاندارد بوده و متغیر تصادفی نرمال مربوط به آن، متغیر تصادفی نرمال استاندارد است و آن را با Z نشان می دهیم  متغیر تصادفی Z در كاربرد اهمیت ویژه ای دارد و بدین دلیل جدول مربوط به مقادیر عددی تابع توزیع آن در بخش جدولها داده شده است بحث زیر اهمیت Z را روشن تر می كند.

توزیع پوآسون

در مواردی كه در توزیع دو جمله ای n بزرگ باشد محاسبة احتمالات كاری پیچیده و مشكل می گردد. از طرفی توزیع دو جمله ای در مواردی صدق می كند كه d=p-q كوچك باشد، و یا به عبارت دیگر q و p نزدیك به  باشند. در مواردی كه شرایط فوق صدق نكنند. (n بزرگ و احتمال ها نزدیك بهم نباشند) از توزیع های دیگری بجای توزیع دو جمله ای استفاده می گردد.

به طور كلی اگر احتمال وقوع پیشامدی (q) كوچك باشد و  باشد آن پیشامد را نادر گویند. و منحنی توزیع دو جمله ای از حالت تقارن خارج بوده و مورب می گردد. چون در عمل با چنین وقایع نادری روبرو هستیم، داشتن یك توزیع تقریبی برای چنین مواردی ضروری است. چنین توزیعی بنام توزیع پواسون معروف است.

در توزیع دو جمله ای اگر تعداد دفعات آزمایش (n) بتدریج كه p كوچك و كوچكتر می گردد، بزرگ و بزرگتر شود، مقدار  (لاندا) ثابت می ماند. به عبارت دیگر توزیع دو جمله ای باینومییال وقتی n به سمت بی نهایت و p به سمت صفر میل كند و np ثابت بماند، به توزیع پویسون تبدیل می گردد. بنابراین احتمال وقوع X  پیشامد در n آزمایش به صورت زیر محاسبه می گردد.

پایه لگاریتم طبیعی = 718828/2 e=

در این فرمول بجای np از حرف یونانی  استفاده شده است. بنابراین توزیع پویسون یك حد از توزیع باینومییال است. در این مورد نیز ثابت می شود كه میانگین و واریانس توزیع پویسون برابر با  است.

مقدار  به مفهوم زیر است:

 یا به طور كلی  بوسیله ماشین حساب حاصل می شود.

توزیع پویسون تنها به عنوان تقریب توزیع دو جمله ای بكار نمی رود،‌بلكه به عنوان یك الگو برای بررسی وقایعی كه به طور تصادفی و به طور نادر در زمان و مكان توزیع می شوند نیز مورد استفاده واقع می شود. برای مثال می توان تعداد پنچری طایر در یك هفته، تعداد اصابت گلوله در یك هدف گیری، و تعداد موارد گزارش شده از یك بیماری كمیاب و غیره را نام برد. از توزیع پویسون در بازرسی و كنترل كیفیت كالاها، وقتی تعداد كالاهای معیوب نسبت به تولید كل كم باشد، به منظور محاسبة احتمال ها استفاده می شود. از جمله وقایع دیگری كه توزیع پویسون برای آنها صادق است، می توان به مشاهده غلط چاپی در یك كتاب، افراد چپ دست یا معلول ذهنی در جامعه، تعداد خودكشی، یافتن بذر علف هرز در یك محموله و یا پیدا كردن باكتری در آب استخر اشاره نمود. برای توزیع پویسون نیز احتمال تجمعی مقادیر مختلف X بر حسب n و  محاسبه گردیده و در جداولی در برخی از كتاب های آمار آورده شده است.

توزیع نرمال

توزیع نرمال مهمترین الگوی آماری است و اكثر تئوری ها، محاسبات و استدلالهای آماری بر مبنای آن نهاده شده اند. اهمیت دیگر توزیع نرمال در این است كه توزیع فراوانی پدیده های طبیعی، كه با رعایت اصول صحیح آماری مورد تحقیق قرار می گیرند، غالباً به صورت نرمال است. از طرفی چون هر متغیری به هر شكلی كه مورد مطالعه قرار گیرد دارای توزیع فراوانی مخصوص بخود می باشد،‌می توان با استفاده از اصول آمار و ریاضی، آن متغیرها یا توزیع آنها را به نرمال تبدیل نمود و از اصول آماری خاص منحنی نرمال برای تجزیه و تحلیل آنها استفاده نمود. به عنوان مثال چنانچه Xi دارای توزیع پویسون باشد، متغیر  دارای توزیع نرمال خواهد بود. همچنین چنانچه حالتهای یك متغیر بر حسب درصد باشد، دارای توزیع نرمال نیست،‌ولی الگاریتم این اعداد یا سینوس معكوس (Arc sin) آنها دارای توزیع نرمال است. این موضوع مبحث نسبتاً مفصلی تحت عنوان تبدیل داده ها است،‌كه خارج از موضوع این كتاب می باشد.

اگر n (تعداد آزمایش) در یك توزیع دو جمله ای زیاد باشد، محاسبه فراوانی ها و احتمال ها با استفاده از توزیع باینومییال مشكل می گردد. در چنین مواردی با استفاده از اصول ریاضیات نشان داده می شود كه با بزرگ و بزرگتر شدن n توزیع دو جمله ای باینومییال بیشتر و بیشتر به صورت توزیع پیوسته ای با معادله زیر در می آید كه به آن توزیع نرمال می گویند. بنابراین توزیع نرمال “حد” توزیع دو جمله ای است. توجه داشته باشید كه با بزرگ شدن n (تعداد حالات ممكن برای وقوع یك رویداد) متغیر حاصل از حالت ناپیوسته به پیوسته تغییر می كند. به عبارت دیگر توزیع دارای منحنی می گردد.

چنانچه ملاحظه می شود در فرمول فوق p و q (احتمال وقوع یا عدم وقوع پیشامدها) مشاهده نمی گردند،‌بلكه پارامترهای  و  كه در تخمین آنها به نحوی از احتمال های فوق استفاده می گردد، وجود دارند. چنانچه در این فرمول،‌فراوانی نسبی (احتمال) متغیر X یعنی  قرار داده شود، معادل احتمال نرمال به شرح زیر بدست می آید:

برای آشنایی با رابطة‌توزیع نرمال و توزیع دو جمله ای فرض نمائید كه 300 گیاه گندم به طور تصادفی از مزرعه ای انتخاب و طول آنها اندازه گیری شده و نمودار ستونی آنها برحسب فراوانی های نسبی ترسیم شده است. چون مساحت هر یك از مستطیل ها برابر است با فراوانی نسبی طبقه ای از مقادیر اندازه گیری شده، مساحت كل مستطیل ها برابر با یك می باشد. از طرفی چنانچه به جای 300 گیاه طول تعداد زیادتری (فرضاً 3000) گیاه و با دقت و تقریب زیادتری اندازه گیری شود، تعداد طبقه ها زیادتر می گردند ولی باز هم مساحت كل مستطیل ها برابر با یك خواهد بود. اگر تعداد گیاهان را همین ترتیب اضافه نمائیم. هیستوگرام فراوانی های نسبی و نمودار چند ضعلی آن تبدیل به یك منحنی می گردد كه به آن منحنی نرمال گفته می شود. با اضافه شدن اندازه نمونة تحت مطالعه، میانگین و انحراف معیار آن  نیز به سمت مقادیر ثابت  و  میل می كنند و نمودار چند ضعلی نیز به طرف یك منحنی پیوسته  ضعلی) سوق داده می شود. چون مجموع مساحت های مستطیل ها در هیستوگرام فراوانی نسبی یك است، مساحت زیر منحنی بین دو حد  و  نیز برابر با یك می باشد.

بنابراین سطح زیر منحنی بین دو مقدار معین X برابر با احتمال وقوع X در آن دامنه می باشد.

 سطح زیر منحنی

به عنوان مثال چنانچه توزیع طول بوته های گندم دارای میانگین 100 سانتیمتر و انحراف معیار 10 سانتی متر باشد، می توان احتمال انتخاب بوته ای كه طول آن بین 90 تا 110 سانتی متر است را از مقدار n قرار داده شود و یا احتمال مزبور در n ضرب گردد، تعداد بوته ای كه طول آنها بین 90 تا 110 سانتی متر است بدست می آید.

موارد استفاده توزیع نرمال

در آمار منحنی نرمال به عنوان معیاری برای مقایسه مشخصات مختلف سایر توزیع های فراوانی تجربی با آن مورد استفاده قرار می گیرد. چون توزیع نرمال احتمال پیشامدهایی را نشان می دهد كه به طور تصادفی اتفاق می افتند، اگر توزیع مشاهدات حاصل از یك آزمایش با آن مطابقت داشته باشد، می توان پذیرفت كه در وقوع آنها نیز قوانین تصادف حاكم بوده اند. این نوعی استنباط علمی است،‌زیر مفهوم مخالفت آن این است كه در وقوع مشاهدات مزبور عوامل دیگری دخالت داشته اند. مثلاً اگر عملكرد واریته ای از گندم را از طریق كاشت آن در تعدادی قطعه زمین (كرت) اندازه گیری كنیم، در همة قطعات مقدار آن یكسان نخواهد بود، زیرا علیرغم دقت زیاد، عوامل مزاحم و ناشناخته ای موجب تفاوت محصول كرت های مختلف خواهند شد. این مشاهدات یك توزیع فراوانی تشكیل خواهند داد. حال اگر تنها عوامل تصادفی در ایجاد این تفاوت ها مؤثر بوده باشند، توزیع فراوانی مقادیر به شكل منحنی نرمال است و یا به آن نزدیك است. دلیل این امر این است كه احتمال وقوع عواملی كه موجب تفاوت های بزرگ می گردند كمتر از احتمال پیشامد عواملی است كه تفاوت های جزئی و ناچیز را بوجود می آورند. از طرفی چنانچه عواملی جز پیشامدهای تصادفی، مثلاً نقص ترازو، حاصلخیزی متفاوت خاك قطعات زمین،‌ اشتباه در ثبت مشاهدات، حمله آفات، مقادیر مختلف آب آبیاری و غیره وجود داشته باشند، تأثیر آنها در جهت معینی بروز خواهد كرد و منحنی دارای كشیدگی خواهد شد. لذا چنانچه توضسح فراوانی مشاهدات با توزیع احتمالات نرمال تطبیق كند، می‌توان به نتیجه آزمایش اطمینان بیشتری داشت. در این حالت احتمال وقوع انحرافات مثبت و منفی مساوی است و میانگین مشاهدات مساوی عملكرد واقعی آن واریته خواهد بود.

همچنین اگر نوزیع فراوانی یك پدیده نرمال ( مانند اندازه‌های رشد و نمو و غیره ) را در یك گروه مطالعه نمائیم، نمودار آن به صورتی متقارن، شبیه منحنی نرمال خواهد بود، زیرا بدیهی است كه در یك جامعه مقادیر متوسط این متغیر ( مثلاً طول قد انسان ) دارای حداكثر فراوانی هستند و فراوانی مقادیر دیگر  ( افراد خیلی قد بلند و خیلی قد كوتاه ) به تناسب فاصله یا انحراف آنها نسبت به مقادیر متوسط، كاهش می‌یابد.

نحوة استفاده از توزیع نرمال در تحقیق عملی و چگونگی كاربرد آن در مباحث آمار و نمونه‌برداری و اندازه‌گیری، به عنوان معیاری برای ارزشیابی و تفسیر نتایج تجربی تا حدودی روشن شده و در فصل‌های بعدی نیز به تفصیل مورد بحث قرار می‌گیرد. بنابراین مقایسه و تطبیق نمودارهای تجربی با توزیع نرمال یكی از قدمهای اولیه در تحیق علمی است. این روش در فصل 11 ( توزیع كای اسكور)[1] شرح داده می‌شود. یكی از ساده‌ترین روش‌ها این است كه مساحت قطعات مختلف سطح زیر منحنی تجربی با مقادیر مشابه در منحنی نرمال مقایسه گردد. برای روشن شدن مطلب توضیح بیشتری داده می شود و مثالی نیز ذكر می گردد و سپس در این رابطه به بحث پیرامون سطوح متعارف منحنی نرمال پرداخته می شود.

همانگونه كه گفته شد منحنی نرمال استاندارد و جدول مربوط به آن (Z) مورد خاصی از منحنی نرمال است كه در آن  و  می باشد. از طرفی ارقام و داده های آزمایشی زیادی یافت می گردند كه دارای توزیع نرمال می باشند. برای این گونه داده ها و توزیع ها نیز می توان در هر مورد و با استفاده از فرمول منحنی نرمال جداولی تهیه نمود و سطح زیر منحنی یا احتمال وقوع پیشامدها را با استفاده از آنها مشخص ساخت. ولی در این صورت با بی نهایت جدول روبرو خواهیم بود. برای حل مسائلی نظیر آنچه در مورد منحنی نرمال استاندارد شرح داده شد، ولی در مورد توزیع تجربی (نرمال غیراستاندارد) بهترین روش این است كه ابتدا داده های این توزیع را به توزیع نرمال استاندارد تبدیل نمائیم و سپس با استفاده از جدول Z احتمال وقوع وقایع را محاسبه نمائیم.

قیمت فایل فقط 12,000 تومان

خرید

برچسب ها : توزیع پوآسون و نرمال , متغیر تصادفی نرمال , موارد استفاده توزیع نرمال

نظرات کاربران در مورد این کالا
تا کنون هیچ نظری درباره این کالا ثبت نگردیده است.
ارسال نظر